おめでとう！私も勝ったって英語でなんて言うの？

詳しいシチュエーションがわかりませんが、次のような言い方ができると思います。

ーCongratulations! I won too.
「おめでとう！私も勝ったよ」
to win で「勝つ」

ーWell done! I was a winner too.
「おめでとう！私も勝ったよ」
I was a winner too.「私も勝者だった」＝「私も勝った」と言えます。

ご参考まで！

ご質問ありがとうございます。
・「Congrats! I won as well!」

（意味) おめでとう！私も勝ったよ！

<例文>Congrats! I won as well!// Really? Yay!

<訳> おめでとう！私も勝ったよ！//本当に？やったー！

参考になれば幸いです。