a person who is capable of doing certain things with their pets
responsible を使っても大丈夫だと思いますが、それ以外にも capable を使っても言えます。capable は「必要な品質・力量・気質を持っている」ことを意味します。
「ペットを飼う資格のある人」は次のように言えます。
ーa person who is capable of doing certain things with their pets
例:
A person has to be capable of doing certain things if they want to have a pet.
「もしペットを飼いたいなら、その人は特定のことができる資格を持っていないといけない」
ご参考まで!