I don't like when someone stares at meは、「私は、誰かが私を見つめることが好きではない」といった意味です。
stareは、「じろじろ見る」や「凝視する」などの意味です。英語で「見る」を表す単語が色々あり、それぞれ微妙に違うニュアンスがあります。たとえば、She glanced at her watch and hurried off「彼女は自分の腕時計をちらっと見て急いでいった」のように、「ちらりと見る」「ちらっと見る」を意味するglanceや、He glared at him silently「彼は彼女を無言でにらみ付けた」のように「にらむ」を意味するglareというのが二つの例です。
上の文章のstareのかわりにglareと置き換えると、意味が違ってきます。
I don't like when someone glares at me.
私は誰かが私をにらみつけることが好きじゃない。