煮込みうどん、って英語でなんて言うの？

stewはシチューのことですが、煮込んだものを指します。
煮込みうどんはそのまま、noodle stewで通じます。

I like noodle stew with lots of vegetables.
野菜たっぷりの煮込みうどんが好きです。

というように使えます。

いろいろな表現ができると思いますので、もうひとつの例をご紹介しますね。

(Japanese) broth-simmered udon noodle soup
まず"udon"ですが"sushi""tempura"などの他の和食と同じようにそのまま"udon"で伝わることも多いと思います。udon noodleと表現するともっとわかりやすいでしょう。

broth；だし、煮汁
simmered：煮込まれたs simmerはコトコト煮込むニュアンスの調理法