To give my stamp of approval が「太鼓判を押す」に一番近い表現かなと思います。直訳は「承認の印章を与える」。ちょっと堅い表現です。
To guarantee「保証する」や To promise「約束する」も日本語の「太鼓判を押す」に近い表現として使われているのではないかと思います。
例文）
I guarantee his success in this project. 彼のプロジェクトの成功は私が保証します（太鼓判を押します）。
名詞の guarantee には、保証書と言う意味がありますので、イメージとしては太鼓判を押すに一番近い気がします。
動詞のguarantee を使って
I guarantee that
と、言っても良いですが、
You have my guarantee that
と、言うと太鼓判を押すよと言う言い方の感じが出るんじゃないでしょうか。
また、ハンコや保証書から離れて
I assure you
という会話でもよく使う 言い方を覚えておくと良いでしょう。
assure は「請け合います」というちょっと古い日本語に似た言葉です。「請け合います」が死語になりつつあるので、適当な訳語がなくなってしまったのですが、「私を信じて安心しやってください」というあんまり根拠はないけど、頼もしい感じが太鼓判を押しますにぴったりな感じもします。
日本 
