おっしゃる通り「砂漠」はdesertで、「砂漠地帯」はdesert regionやdesert areaなどでOKです。
ただ、desertという言葉自体が土地（land)を表しているので、下記のような文章の場合はregionをつけないほうが自然です。
The Sahara Desert is the largest desert in the world.
「サハラ砂漠は世界で一番大きな砂漠（地帯）です。」
You can say it's a desert area（ デザート は言えます）
Desert can be any place which is filled with sand and very little Greenery （デザートは 緑が少なくて 砂だらけなところです）
You can also say it's a Saharan area（サハラン でも言えますね）
A saharan area is like the Sahara area in southern Africa.（ サハラン地域は南アフリカのサハラ砂漠のような砂漠です）
Or even sub-Saharan（ またはサブサハランもあります）
Sub Sahara and is the area south of the Sahara desert not quite a desert, not quite Savannah （サブサハラはサハラ砂漠の南にあって 草原でもなく 砂漠でもなく その中の 地域のことです）
日本 
オーストラリア 
