娘が携帯ばかりで遊んでいるのでトイレ掃除をさせたって英語でなんて言うの？

「携帯ばかりで遊んでいる」の他の英訳は
doing nothing but playing around with her phone
wouldn't put down her phone
was on her phone non-stop

「させる」は英語にすると「make」の状態も「let」の状態もあります。
この場合では、娘がしたくないことなので、「make」です。
彼女がしたがっていることでしたら、「let」です。たとえば

She did her chores, so I let her go to the Arashi concert.
彼女が家の手伝いをしたから、嵐のコンサートに行かせた。

「娘が携帯ばかりで遊んでいる」の表現が少しずつ違うのでチェックしてみてください。

英訳１：spend all one's time on ...で「すべての時間を…に費やす」、つまり「…ばかりしている」ということ。

英訳２：use XX too muchで、「XXを使いすぎている」という意味です。

英訳３：won't stop playing on ...で「…で遊ぶのをやめない」という意味です。
even though I told her to stopは、「私が彼女にやめるように言っても」ということ。

「罰として、トイレ掃除をさせた」ということを明確に言いたい場合は、文の最後に、as punishment と付け加えればOKです。