彼はラグビーをするだけでなく、店を開くためにオーストラリアに行った って英語でなんて言うの？

ラグビーをするは to play rugby/ to practice rugbyの両方言えます。
「お店を開く」の「お店」はshop /storeどちらでもいいですん。

どんなお店か明確なら
He moved to Australia to open a store selling Japanese stuff.
「彼は日本のお店を開くためにオーストラリアに行った」

He moved to Australia to open a rugby gear store.
「彼はラグビー用品のお店を開くためにオーストラリアに行った」

アメリカではラグビーはあまりメジャーじゃなくて、日本で初めてテレビで観ました。

他の言い方を挙げるなら

Playing rugby was not the only reason he went to Australia. He also went there to open his own shop.
彼がオーストラリアに行った理由は、ラグビーをするだけではなかった。彼は自分の店を開くためにそこへ行ったのです。

ということもできます。

He went to Australia not only to play rugby, but also to open a store.

だけでなく～も。はnot only, but alsoとあらわすことができます。

オーストラリアでは日本で主流のrugby union（15人制）だけでなく、rugby
league(10人制)、やAussie rules（オーストラリアフットボール）などがあります。

具体的にどのラグビーをするのかを言うのも良いかもしれません。

参考になれば幸いです。