何をお願いしようかなあ？って英語でなんて言うの？

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What should I wish for?
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こちらをお使いください。

「お願いする」はこの場合、「wish」という表現が適切になります。
ちなみに「wish」は状況によって名詞としても動詞としても使えます。

例：
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「three wishes」（三つの願い）
「birthday wish」（誕生日の願い事）
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「What do you wish for?」（何を望んでいる？）
「wish on a star」（星に願う［願いをかける］）
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上記のように、初詣に関わらず、様々な状況で「wish」は使えます。
色々お試しください。

「初詣で何をお願いしようかなあ」は英語で「What should I wish for at the shrine?」と表現されます。

ここでの「What should I wish for」は「何を願うべきか」という意味で、「at the shrine」が「初詣」を示しています。'wish for'は「願い事をする」を意味し、その先に具体的な願い事を指定することも可能です。

この表現は、状況によって柔軟に変更して使用することが可能です。また、初詣以外の願い事についても使用できます。