To work hard and encourage each other
=切磋琢磨する
切磋琢磨とは、「[一緒に](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52139/)頑張り、互いに励み合うこと」なので、以下のようになります。
[一生懸命](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/777/)やる/頑張る=To work hard
互いに励み合う=encourage each other
例:
We all work hard and encourage each other here.
ここではみんなで切磋琢磨しています。
他の先生方も書かれていますが、
「切磋琢磨する」をそのまま英語にするのではなく、
別の言葉に置き換えてから英語にすることを
お勧めします。
私は「競うことによって高めあう」と
考えて英語にしてみました。
improve ourselves through friendly rivalryは
「友好的な[ライバル関係](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/62156/)を通じて[お互いを高めあう](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/40534/)」
という意味です。
improve ourselves through competitonは
「競争を通じてお互いを高めあう」
という意味です。
どちらも「切磋琢磨する」に近いニュアンスになります。
「これからも、切磋琢磨しながら、
互いに高め合っていきたい。」は
We'd like to improve ourselves through friendly rivalry.
We'd like to improve ourselves through competiton.
と言えます。
参考になれば幸いです。
切磋琢磨する、というのは「互いに競い合う」「互いに挑戦的になる」ことを示しますので、それを現わせばよいと思います。
challenge というのは日本語の「何かにチャレンジする、挑戦する」という語義の他に、
「人に対して挑発する、挑戦的になる」という意味もある動詞です。
He and I could challenge each other.
「彼と私はお互いに挑戦的になる(それによって高めあう)こともできるだろう」
というのもアリだと思います。
ご参考になれば幸いです。