「自覚をもつ」という意味なので、自分自身を見直すという意味で、
・think about myself
(自分自身を考える)
それに、大人として、という事が社会人としてという意味と同じニュアンスを英語だと出せると思うので、
I have to think about myself as an adult.
(私自身を大人として見直さなければいけません。)
これが、「自覚をもつ」という日本語と同じ意味になると思います。
ご参考になれば幸いです。
「社会人(成人)としての自覚を持つ」は、「成人として自分の言動に責任を持つ」と言い換えられます。
また、「自分の言動」という意味は色々な英語表現が出来ますが、例えば下記があります。
what I do or say
my behavior
my actions
以上から、ご質問の内容の英訳例は以下の通りとなります。
I'll be responsible for my behavior as an adult.
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか:
be responsible for myself
自分に責任を持つ
act as an adult
大人として振る舞う
responsible for... は「〜の責任を持つ」という意味の英語表現です。
ぜひ参考にしてください。