It seems that you paid by card. Do you have the card now?
カードでお支払って頂いたようです。そのカードは今持っていますか？
theには、前の文脈に使われている名詞を特定する働きがあります。
この場合、the cardというだけで、その特定のカード、つまり、支払いに使われたカードということを特定できるので、これで良いです。
これでもし
which card? （どのカード？）
と言われたら、
I mean the one that you used at the previous transaction.
前回のお支払い時に使われたもの（カード）のことです。
といえば分かりやすいかと思います。
You seem to be paying by card. Do you have the card you use?
Our records show that you pay by card. Do you have the card you use to make your payments?
It looks like you use a card to make payments. Do you have your card?
英訳1：seem to ~「〜のようだ」を使い、you seem to be paying by card で「カード払いのようだ」となります。
make payment で「支払う」「決済する」という意味。
英訳2：主語を our records「こちらの記録」にして言うこともできます。その場合の動詞は show「表示する」「表す」です。
英訳3：seem to ~ のように、it looks like ~ mo「〜のようだ」という意味で使います。
アメリカ合衆国 
