「有効期限が到来するマイルを使うのを忘れないでね」は英語では「Don't forget to use your miles before they expire」になります。
Expire というのは期限が切れるという意味です。なので、「有効期限」は英語で「expiration date」です。
ご参考までに!
Don't forget to use your (accumulated) miles before they expire.
Don't forget to use your (accumulated) miles before they run out.
英訳1:この「マイル」は、たまったマイルのことなので、accumulated「ためた」「蓄えた」を添えてもOK。特に言う必要はないですが、せっかくためたマイルをと強調するなら使うといいですね。
英訳2:「有効期限が切れる」は、1で使った expire が一般的ですが、口語では run out もよく使います。run out は、何かを使い果たす場合にも使いますが、期限切れになることも指します。