「私を追い越して」という行動を英語で表す時は、"runs ahead of me" が適切です。このフレーズで、「私の前を走る」という意味が伝わります。
「先に走って行く」という意味の "runs ahead" は、物理的に前に行く動作を示しており、「私を」は "of me" で表されます。
質問補足を踏まえると、完全な文としては「When I gesture towards the bedroom, my dog runs ahead of me to the bedroom and waits for me on the bed.」(私が寝室に行く仕草をすると、私の犬は私を追い越して先に寝室に走り、ベッドの上で私を待っています。)となります。
関連した単語やフレーズ:
- sprint ahead (先に走り出す)
- dash in front (前にダッシュする)
- beat me to (私より先に〜する)