友達には変わりないって英語でなんて言うの？

There is no change in 〜　で 「〜に変わりはない、変化はない」という意味になります。
betrayは「裏切る」という意味で、少し堅い表現です。
There is no change in our friend-ship even if you betray me.
たとえあなたが裏切ったとしても、私たちの友達関係は何も変わらないよ。
という意味になります。


No matter what　は「たとえ何があっても〜」というフレーズで、
No matter what you have done to me, I will always be your friend.　は、
たとえあなたが私に何をしたとしても、私はあなたの友達だよ
という意味になります。betrayを使った文よりは少し柔らかい表現です。


even though は「たとえ〜であったとしても」というフレーズで、
let me down は「がっかりさせる、期待を裏切る」といった意味になります。
We will always be friends even though you let me down.　
たとえあなたが私をがっかりさせたとしても私たちはずっと友達だよ。
というような意味になります。
少し「裏切る」を遠回しに表現した文章です。

Once your friend, always your friend.というのは「一度友達になったらずっと最後まで友達でいていく」の意味です。そして、No matter what I will always be your friend. は「どんなことがあってもずっと友達」と言う意味です。”no matter what"とは「どんなことがあっても」の意味であります。
ご参考になれば幸いです。