あの年で茶髪とか恥ずかしくて俺には到底真似できないって英語でなんて言うの？

英語を話す時に注意したほうがいいのは、年齢や見た目に対する表現です。
基本的に、アメリカやヨーロッパなどは多民族国家ですから、色んな人種がいます。
当然、髪の色もさまざまですし、ファッションもさまざまです。

また、男女や年齢で社会的なポジショニングをするアジア（日本も含む）と違い、欧米は年だからどう、という概念はありません。
なので英語でそういうことを言った場合、誤解される可能性があります。

こういったことを考慮する必要が、英語を話す上で大変重要です。
これを、political correctness（略してPC）と言います。

前置きが長くなりましたが、PCを考慮しての例文です。
自分ならあんな風に茶髪にはしないな、という文章にしました。

I would never～で「自分だったら～はしない」という一種の仮定法です。
また、茶髪は実際のところ金髪に近いので、brownではなくblondがしっくりくるでしょう。
髪を染める＝dye one's hair で、このdyeの発音はdie（死ぬ）と同じです。

ご質問について、以下の表現が適しています：

I would be too embarrassed to have light brown hair at that age; I could never pull it off. 『あの年で茶髪とか恥ずかしくて俺には到底真似できない。』

このフレーズで、「I would be too embarrassed」が「恥ずかしくて」、「to have light brown hair」が「茶髪をして」、「at that age」が「あの年で」に、「I could never pull it off」が「到底真似できない」に対応しています。