〜出来るようになって〜するのを楽しみって英語でなんて言うの？

「〜できるようになる」は、learn to ~ で表現できます。
「〜するのが楽しみ」は、look forward to - ing をよく使います。

例えば、次のように使います。

I learned to read a map. （地図が読めるようになりました）

I look forward to seeing you again. （あなたとまた会えるのを楽しみにしています）

それらの表現を用い、after（〜した後）でつなげて、質問者さんが書かれている例文を訳すと次のようになりますね。

I look forward to talking about various things with you after I learn to speak English better.
（英語をより上手く話せるようになった後、あなたと色々なことを話すのが楽しみです。）

I look forward to play a tennis match with Nishikori after I learn to play tennis better.
（テニスをより上手くできるようになった後、錦織選手とテニスの試合をするのが楽しみです。）

お役に立てれば幸いです。

「〜出来るようになって」/「上手くなって」は　After getting better at ~ / after I'm able to ~ と言えます。
「〜する」は　〜ing か　doing ~
「を楽しみ」は　(I) look forward to ~ と訳せます。

「もっと英語を話せるようになって、先生と色々な話ができるのを楽しみにしています。」は　After I'm able to speak more English, I look forward to speaking about many different things with the teacher. と言えます。
「テニスがもっと(今より)上手くなって錦織選手と試合できるようになるのがたのしみです。」は　After getting better at tennis, I look forward to playing a match with Nishikori.