子供時代の楽しかった思い出を懐かしく思うって英語でなんて言うの？

remind は「（人に）思い出させる」という表現ですね。
思い出させる内容を of ～ で表します。

This photo reminds me of my childhood days.
この写真を見ると、子供時代の日々を思い出す。

聞き手が勝手に「懐かしいんだな」と思いますから、
敢えてそういう言葉を入れる必要はありません。

または「楽しかった思い出」というのをもっと具体的に
表現してしまうのもオススメです。
その方がずっと会話としても盛り上がります。

適当な例として、子どもの頃にサッカーをしていた・・・という設定で
I remember playing soccer with my friends when I was little.
というのはいかがでしょうか。

昔の思い出にひたる場合は遠くを見ながら「Those were the days」もしくは「Good old days」
こちら過去を振り返り「あの頃はよかったなー」といったニュアンスがあります。
写真を見ながら「We were so young!」なんて言ったりもします。

さらに「I miss those days」なつかしいなーーーそして涙がポロリ

Those were the good old days.
➡あの頃はよかったな～
の意味です。

旧友との飲み会もいいですが、
会う度に昔の話ばっかりしていると、つまらなくなりますよね！

”あの頃”も”今”も、両方楽しいって言えるといいですね！