元旦の新聞には多くの広告が挟まっているって英語でなんて言うの？

「広告」は advertisements、略して ad(s)とも言います。 「元旦」は New Year's Day なので、 最初の文のように There are many advertisements ~ とか、次の例文のように A lot of ads come in~ などと言えばいいと思います。