来週末、話をしませんか？って英語でなんて言うの？

「来週末、話をしませんか？」をカジュアルではない言い方はこのようにもできます：
Would it be possible to have a talk with you next weekend?
「来週末、話をすることは可能ですか？」というニュアンスです。
would it be possible to～「可能ですか？」という丁寧な言い方です。
talkのほかにdiscussion(話し合いという意味)やchat(少しカジュアル)も使えます。

Do you have any time to talk next weekend?
「来週末、話をする時間がありますか？」

Tsuakasaさん　こんにちは。

英語の丁寧さを表す表現、考えてしまいますよね。
相手との距離感や　親しみの程度で　
単語を変えたり　助動詞を活用しながら　調整していくのが一つの方法です。

順にご説明してまいります。
１
訳「あなたとお話ししたいのですが。　来週末は　ご都合よろしいですか」

I'd like to =I would like to=〜したいのですが

wouldはwill の過去形ですが　この時は過去を表しているのではなく「丁寧さ」を出すwouldです。

canの過去形のcouldも「〜は可能でしょうか」と丁寧に物事の可能性を尋ねる使い方をします。

talk with me=私と話す

available=都合がつく　（手が空いて）会うこと　話すことができる
この単語は　ビジネスで先方　また上司の都合を伺うねるや
学生が先生や教授の都合を尋ねる状況などで　もよく使われます。

２
「（私たち）来週末話せるかな？」

これはかなりカジュアルな表現です。

いかがでしたでしょう。
お役に立てば幸いです。

1番目の文は、比較的丁寧な言い方、2番目の文は、カジュアルな言い方になります。

"Is it possible (for 人) to 〜?" は「〜することは(人にとって)可能ですか？」ということを表します。
"Can you 〜？" は「あなたは〜できますか？」となり、会話ではよく使われる表現です。

"have a conversation with 〜" は「〜と会話する、話す」という意味で、やや堅い表現です。
"talk with/to 〜" も同じ意味ですが、親しい間柄でも使える表現になります。

「来週末(に)」は "(at) the end of next week" となります。