（ホテル予約で）「他の○○○という部屋が空いたら連絡ください」って英語でなんて言うの？

"Could you 〜?" は「〜して頂けますか？」と、丁寧に依頼する時に使われる表現です。
語尾に "please" を付けると、より丁寧な言い方になります。

"on a waiting list for 〜" で「〜のキャンセル待ちリストに載って」ということを表し、"put my name on a waiting list" で「私の名前をキャンセル待ちリストに載せる」となります。

「〜に連絡する」は、"contact 〜" の他に "let 〜 know" や "tell 〜" を使うことができます。

"become available" は「利用できるようになる、手に入る」という表現です。
"have/get cancellation of 〜" で「〜のキャンセルを受ける」ということを表します。

“I’d really like to book the 〇〇〇 room, so if it becomes available at any point, I would be extremely grateful if you could contact me to let me know so that I can change to that room instead.”
ホテルスタッフには、部屋が空いても、そちらに連絡をする義務がないので、「これをやっていただけたら大変ありがたい」というのも伝えた方がいいと思います。なので “I would be extremely grateful”というフレーズも入れました。

この場合だと「空く」は “become available”になります。