2つポイントを紹介します。
① appreciateの"preci"の部分は"price"「値段」です。「正しい値段をつける」、つまり「真価がわかる」がコアです。ここから「正当に評価する」「感謝する」などの意味が生まれます。
My new boss never appreciates my work.「今度の上司は私の仕事を評価してくれない。」
To appreciate Shakespeare's plays, it isn't necessary to read the plays beforehand.「シェイクスピア劇がわかるために、事前に読んでおく必要はない。」
② what I doは「私がすること」を表します。今回は「仕事」に近い意味で使っています。
ほかにも助動詞と組み合わせて
what I can do「私にできること」what I should do「私がすべきこと」など、色々な使い方ができます。