Do you mind if I hand wash my socks and underwear before putting them in the washing machine?
*Is it okay if ...?
*Do you mind if ...?
どちらも「~してもいいですか?」と相手に許可を求める定番表現です。
「下洗いする」は、1つめの英文で使ったpre-washという語があります。
2つめの英文は「洗濯機に入れる前に手洗いをする」
という言い回しにすることで、下洗いを表現しています。