2日違いでって英語でなんて言うの？

Our birthdays are just two days apart.
私たちの誕生日って2日違いなんだね。

Your birthday is just two days after mine.
君の誕生日は僕の2日後だ（つまり2日違い）

ここでは、二日違いで〜（＝two day difference）ではなく、二日後に〜（＝two days after）を使いました。

elected:選出される（選挙の結果が出た日）
take office: 就任する（実際に大統領が仕事を始めた日）
French one: この"one"は『フランスのそれ（大統領）」という意味で、個体は異なりますが同じ種類のものを指す時に使います。