無い物ねだりするって英語でなんて言うの？

■cry for the moon
(クライ　フォー　ザ　ムーン)
という言いかたがあります。
「月を欲しがって泣く」→「無い物ねだり」という意味になります。

▼ご質問の「人は無い物ねだりして、他の人が完璧に見えて羨ましく思うが人それぞれに問題を抱えて生きている」について
以下の言いかたはいかがでしょうか？
You may think everyone else is always happy and their life is perfect, but it's not true.The grass is always greener.
(誰もがいつも幸せでカンペキな人生を送っていると思うかも知れないけど、それは違うよ。隣の芝は青いものだよ)

■The grass is always greener.
(ザ　グラス　イズ　オールウェイズ　グリーナー)
「隣の芝は青い」

「ない物ねだりをする」はask(cry) for the moonと言います。
「月が欲しいと言って泣く」⇒「ない物ねだりをする」
という意味です。

wish for a perfect life は「完璧な人生を望む」
という意味です。

wish forは「手に入りそうもない物を望む」という
意味を表す時に使います。

To wish for a perfect life is asking for the moon.
「完璧な人生を望むことは、ない物ねだりをするようなものだ」

参考になれば幸いです。