「孤独」＝「being alone」、「being by oneself」、「solitude」（少し文学的な単語）
「loneliness」は「寂しさ」になりますのでこの文脈で使うと少しおかしいですね。
「彼は～を苦にしない」＝ 「～doesn't bother him」、「He doesn't mind ～」
He doesn't mind being alone.
Being alone doesn't bother him.
He doesn't mind being by himself.
彼は孤独を苦にしない
"彼は孤独を苦にしない"という内容を英語で伝える場合、「He doesn't mind being alone.」やご提案のあった「Being lonely doesn't bother him.」又は「Loneliness doesn't bother him.」といった表現が適しています。「doesn't mind」は「気にしない」という意味で、この場合「孤独であること」を指しています。
他にも様々な表現が考えられます:
He is comfortable with solitude.
Solitude doesn't faze him.
He's not troubled by solitude.
これらのフレーズも同じ意味合いで使えます。"comfortable with"は「〜に心地良さを感じる」を意味し、「troubled by」は「〜に悩まされる」の意味です。「solitude」は「孤独」という意味の単語ですが、少し詩的なニュアンスを持っています。
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