I'm looking for the clothes that need to be washed.
"look for 〜" は「〜を探す」という表現です。
「服」は "clothes" や "outfit" と表します。「物」と言いたい場合は "stuff" や "things" を使うこともできます。
"A that need to 〜" は「〜する必要がある(ところの)A」という表現で、ここでは「洗われる必要がある服」→「洗濯する服」となります。
"that" は関係代名詞で、直前の名詞"clothes"を後ろで説明しています。
I’m looking for something that needs to be washed.
こんにちは! ご質問ありがとうございます。
ご質問のような状況では、以下のように表現できます。
I’m looking for something that needs to be washed. 『汚れている物がないか探しているの。』
また、少し別の表現として I’m looking for dirty clothes to wash. や I’m trying to find some laundry to do. というようにも言えます。