恩に着るって英語でなんて言うの？

直訳すれば、「I am in-debt to you」になります。こちらは普通に通じますけど、ネイティブの人はよく「I owe you one」（お返しをしないと）と感謝の気持ちを伝えます。カジュアルな言い方になります。

誠実に感謝していると相手に言いたい時には、I don't know how to thank you（感謝の気持ちがとても伝えきれないです）もいいです。

I owe you (one).：（ひとつ）借りができた！という意味

I really appreciate it.：本当に感謝します。
直接「恩にきる」という表現ではありませんがとても感謝してるよ、という表現。仲が良い関係でもこのように丁寧な表現でいうことによって気持ちが伝わることもありますね！