I took my daughter to play at the kindergarten's open playground.
園庭開放という表現は直訳できないんですけど、一番近い表現は多分"open playground"とか"public play"とか、誰でも使えるという意味を強調するフレージングですね。
"I took my daughter"が娘を連れてきたという意味ですけど、"I went with my daughter to go play at the <location>"もOKですよ。
I and my daughter went to a kindergarten to play in the playground when it was open to the public.
「私と娘は、園庭が一般に開放されていた時に、その園庭で遊ぶために、幼稚園に行きました」という意味の文にしました。
「園庭開放」を表現するのが難しいので、「園庭が一般に開放されていた時に（when it was open to the piblic）で表現しました。
the public は「一般の人々」「大衆」という意味で使います。
The library is open to the public.
（その図書館は一般に公開されている）
「月に一回、一般に開放される」ことを言いたい場合には、open（開放する、公開する）を用いて、次のように言えば良いと思います。
The kindergarten opens its playgrouond to the public once a month.
（その幼稚園は、月に一回、園庭を一般に開放する）
お役に立てれば幸いです。
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