最初の例は直訳そのまま。別に乱暴な言い方や失礼な表現にはなりませんのでふつうに、気楽に使えます。
二個目の例文は、少しだけ丁寧に。“would it be alright” は “○○○しても大丈夫ですか？” というへりくだった言い方。特別な理由が無い限りでしたら、こういった丁寧な言い方をしないで最初の例文でも全然問題ありません。
三個目は “do you mind if...” （○○○しても構いませんか？）という、やはりこれもへりくだった言い方。あえて他の例文との違いを挙げるとするならば、例題の補足説明の中に “店のオープン時間の３０分前” ということでしたので、店の人（相手）の特別許可が必要な時などでしたら、この聞き方又は上の二個目の例文を使う必要があるかもしれません。
そうでなければどれも 「スタイル」、「好き嫌い」、「その場のムードで自由に」 選んで使えばいいと思います。
同時に、これらの例文の後に、
”It's freezing outside” （外はめちゃくちゃ寒いので・・・）、とか、
“I'm a bit early” （早く来過ぎちゃった）、又は
“I'm meeting a friend here and I'm early” （ここで友達と待ち合わせしていてちょっと早く来たので・・・）という補足説明すれば、ほぼ完ぺきですねっ！！
① Is it possible to wait inside? It's freezing out here.
「① Is it possible to wait inside? It's freezing out here.」は「ここ（外）は凄く寒いです。中で待つことは可能でしょうか？」の英訳です。
「中で待つことはできますか？」は可能なのかどうか聞くことなので、「Is it possible to」で始めると丁寧にお願いしているニュアンスがあります。
「Is it possible to」は色んな場面で丁寧にお願いする時に使えるので、私はいつも使っています。
ジュリアン
Because it is really cold can we come in and wait?
Because we want to eat here can we wait inside until opening?
All these questions serve the purpose of asking to come inside to wait.
According to some psychological studies using the word 'because' and giving a reason when requesting a favor from someone makes it more likely that they will say yes.
You could say:
"I'm sorry but it is really cold outside. Would you mind if we wait inside?"
"Excuse me. It's freezing outside. Would it be okay for us to wait inside?"
"Excuse me. I am wondering if we can wait inside because it's cold outside."
申し訳ございませんが外がとても寒いので、中で待っていても良いでしょうか？
（下記はどれも同様の意味を表します。）
"I'm sorry but it is really cold outside. Would you mind if we wait inside?"
"Excuse me. It's freezing outside. Would it be okay for us to wait inside?"
"Excuse me. I am wondering if we can wait inside because it's cold outside."
"could I please" asks politely. "Wait Inside" asks to stand inside.
"Would it be okay/alright" asks if it is ok or if it is aloud. "If I waiting inside" means to stand inside.
「could I please」は丁寧に依頼する表現です。
「Wait Inside」は中にいることを依頼する表現です。
「Would it be okay/alright」はそこにいていいか尋ねる表現です。
「If I waiting inside」とは中で待っていることを意味する表現です。
Do you mind if I wait inside for a moment? - You can use this if you are waiting for a taxi, friend, colleague etc.
Is it ok if I wait here please? - assuming that you are waiting for something to happen (taxi, meeting, etc)
In both cases I think its best to start a conversation on topic e.g coffee shop - have a coffee. Clothes shop - browse through whats on offer. Hotel - look around first then say "Do you mind if I wait here for a moment?"
Do you mind if I wait inside for a moment? - あなたはタクシー、友人、同僚などを待っている場合、これを使用することができます
Is it ok if I wait here please? -あなたが何かが起こるのを待っている（タクシー、会議など）
In both cases I think its best to start a conversation on topic e.g coffee shop - - 提供しているものを閲覧するなど、それらについて話し始めることが最善の策だと私と思います。
Coffee shop-コーヒーを頼む、Clothing shop-服を見る
Hotel-まず周りを見て"Do you mind if I wait here for a moment?" ーここで一瞬待ってもいいですか？
In such a situation, you can ask any of the following questions:-
1. Is it possible for us to wait inside?
The word "possible" means "able to be done."
2. Can we wait inside? It's freezing out here.
This is a direct question, asking to wait inside because of the freezing weather.
3. Would you mind if we wait inside?
The expression "would you mind"is a good way of politely asking for something that isn't too much.
"このような状況では、下記の表現を使って尋ねることが出来ます。
1.Is it possible for us to wait inside?
この""possible""とは、""able to be done""（可能な事）という意味です。
2.Can we wait inside? It's freezing out here.
こちらは、単刀直入な質問になります。外は寒いので中で待ってもいいですか？という意味になります。
3.Would you mind if we wait inside?
この""would you mind""という表現は、とても良い丁寧な尋ね方になります。"
The second one is a more suitable way to ask the questions due to the word "would" which automatically makes it a polite questions, although, nothing wrong with the first question and you obviously can use it too.
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