早く寝ないと明日の朝早く起きれないよって英語でなんて言うの？

You won't be able to wake up early tommorow if you don't go to bed early =早く寝ないと明日早く起きれなくなるよ

be able to 〜 = 〜が可能である
won't be able to wake upなので「起きれなくなる」となります。

早くーEarly

何々しないと、ー If you don't 何々

寝る　ー　Sleep, go to sleep

明日　ー　Tomorrow

起きれない　ー　Won't be able to get up/wake up (起きれなくなる 未来時制です)

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野菜を食べないと、デザートを食べれない　ー　If you don't eat your vegetables, you can't have dessert
料金を払わないと、電車に乗れない　ー　If you don't pay the fare, you can't ride the train