今日はどうでしたかって英語でなんて言うの？

この場合の「今日はどうでしたか」は
「今日はどんなことがありましたか」、
「今日はどんな日でしたか」と
いう意味ですので、what happened with you
を使うように先生は言われたのだと思います。

How about you?は討論等をしていて
「あなたの意見は？」と聞きたいときに
使います。

Howを使って「今日はどうでした」と
聞きたいのであれば、

How was the day today?

と言えば大丈夫です。

英会話のレッスン、頑張ってください。(^○^)

参考になれば幸いです。

what happened with youは言い方としてなくはないのですが、how about youくらい一般的ではありません。先生に対して言った覚えはないし、やや友達同士で使われる気がしますのでまた別の言い方の方がいいでしょう。「And yourself?」は相当丁寧で初対面では、あるいは先生などの目上の人に対してぴったりな表現です。