天然記念物に指定されているって英語でなんて言うの？

It is designated as a natural treasure. 「指定されている」には　designated as を使います。でも会話なら、that animal is a natural treasure.
と言っても良いでしょう。
That's a Japanese serow. It was designated as a special natural treasure in 1955.

こうすらすら言えたらガイドさんみたいですね。ちなみに指定するところが国であればnational, 県であればprefecturalとなります。カモシカはnational (国の）
special （特別）natural （天然）treasure（記念物）です。

天然記念物はNatural Monumentともいいます。動物や鳥などもNatural Monumentの中に入っていますが、monumentという言葉のイメージが「物」（動かない物）ですので動物や鳥などをnatural monumentと説明してもピンッとこないかも知れません。

という事で、基本的には動物・鳥・植物とわず国際的に保護されるべきものはIUCN（The International Union for the Conservation of Nature, 国際自然保護連合）がレッドリスト（Red List）として定めています。　レッドリストとは絶滅のおそれのある動物や生物・植物などのリストで、正確にはthe IUCN Red List of Threatened Speciesと呼ばれています。

ですので
１番目は「あれは（あの動物は）IUCNでレッドリストに（登録されている）載ってるよ」という意味になり、
２番目は「あれは国際自然保護連合の絶滅のおそれのあるリストの載ってるよ」という意味になります。
３番目は「あれは日本で"鳥獣の保護及び狩猟の適正化に関する法律"で守られている」という意味になります。

ニホンカモシカやトキも１番～３番でカバーできますし、IUCNのレッドリストにも入っています。