「急いで家を出る」って英語でなんて言うの？

leave in a hurry（急いで出発する）
rush out（急いで出る）

例えば「今朝、急いで家を出た」は
I left (home) in a hurry this morning.またはI rushed out this morning.と表現できます。
homeは状況がわかる相手であれば省略しても構いません。

rush outのほうが、バタバタと飛び出している感じは出ます。

以上、ご参考ください。

In hasteはあまり使われない表現ですが、in a hurryが「通常より急いで」という意味合いなのに対し、in hasteは「速く」「急いで」という意味になります。また、in a hurryというのに対して、hasteを使う場合は"a"を入れません。
ご参考になれば幸いです。