「その場で」は、immediately（即座に）でいいでしょう。
The application was immediately accepted.
同じ意味で on the spot でもいいです。
The application was accepted on the spot.
なお、同じ意味といっても、immediately は accepted の前・後どちらでもいいですが、on the spot は後になります。
また、申請「書類」は document を付けなくても（付けてもいいですが）application だけでOKです。
こんにちは！
ご質問ありがとうございます。
ご質問について、いくつか言い方が考えられますが、例えば、
My application was approved on the spot.
とすると、「申請を提出したその場で、すぐに[許可されました](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/72758/)。」となります。
役に立ちそうな単語とフレーズ
application 申請、申請書
approve 承認する、許可する
approval 承認、許可
on the spot その場で、即座に
参考になれば幸いです。
日本 
