私の管理不行き届き陳謝します。以後再発防止に努めますって英語でなんて言うの？

監督不行き届き　は、
failure to exercise proper oversight
と言います。

お詫び致しますだけなら、
I apologize
で良いのですが、
質問者さんは、陳謝　と言いたいので、
sincerely,
（心から）
を入れて、陳謝というニュアンスにしてみました。

I apologize sincerely for failing to exercise proper oversite.
(監督不行き届きがありましたこと、心よりお詫び申し上げます）

で良いでしょう。

I'll make sure it will not happen again.
で、
（再発防止に努めます。）
に１番近い、自然なビジネスでの言い回しになります。

英語でも、ビジネスシーンと日常会話では、
言い回しがまったく違います。
敬語が使えるようになると良いですね。
がんばってください(^^)