raise with great careは「大切に育てる」「細心の注意を払って育てる」などの意味があります。raiseのかわりに、treatやchooseなど別の動詞も使うことが多いです。
My daughter drew me a birthday card with great care.
うちの娘は一所懸命にわたしにために誕生日カードを描いてくれた。
take great painsは「～をするのにとても苦労する」という意味です。pain(s)は「痛み」「苦しみ」などです。
似たような表現としては、go to great painsやgo to great lengthsなどもよく使われます。
She went to great lengths to keep their relationship secret.
彼女は、二人の関係を秘密のままに保つのにあらゆる手を尽くした。
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