Late at night, the rain will probably turn to snow.
It will probably begin snowing late at night.
「夜更け過ぎに」を直接翻訳すると、「after the middle of the night」になりますが、ちょっと不自然な英語ですね。日本語で「〜過ぎ」とか「〜から」とかを言う時、英語では「at ~ it will change」とか「around ~ it will start ~」とかにするでしょう。
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