音楽の動画なら、動画の媒体なので watch を使ってもいいですが YouTube で続きを「聴く」ことなら listen to の方がベストかもしれません。listen to X という形の動詞なので、listen to the rest (残り・続き) on YouTube! (on はウエブ上)
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか:
Watch the rest on YouTube.
続きはYouTubeで見てください。
Listen to the rest on YouTube.
続きはYouTubeで聴いてください。
ぜひ参考にしてください。