The important thing is to live your life normally.
「生活を送る」は英語で「life a / your life」で十分伝えますので「普通通りに」を「normally」にして「大事なのは」を「the important thing is...」にしました。
例：
The important thing is to live your life normally. We will not give in to terrorism.
大事なのは普段通りの生活を送ることだ。私たちはテロリズムには屈しない。
carry onは、動詞のcarry「＝運ぶ」と前置詞のon「＝の上に」という二つの部分から成り立っています。しかし、phrasal verb（句動詞）というものなので、もともとの意味のとは違う意味で使うことが多いです。
carry+onの場合は、この二つの単語をあわせると、「続ける」「断続する」「持続する」という意味になります。
I can't carry on like this anymore.
わたしはこのままではもう続けられない。
Please carry on with the conversation.
会話を続けてください。
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
The important thing is to continue life as usual.
大事なのは普段通り生活を続けることです。
as usual は「普段通り」という意味の英語表現です。
ぜひ参考にしてください。
カナダ 
ポーランド 
アメリカ合衆国 
