相手に、自分と一緒に買いものに行ってほしいときって英語でなんて言うの？

”不定詞”という指定があるので、最初の答えは

　I want you to go shopping with me.

としました。
「買い物に行く」は go shopping です。

ただ、なにかしてほしいときに直接 I want 〜 のように言うよりも、軽い依頼の Can you 〜 を使う方が丁寧なので、ふつうは

　Can you go shopping with me?

の方がいいと思います。

1つの言い方にこだわらずに、いろいろなパターンを覚えてくださいね。