「[虫](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/36530/)」にもいろいろありますが、一般的に虫取りのような場合は bug(=small insects)でいいでしょう。
虫を取るのは動物と同じように、hunt を使えます。
また、「〜をして[あそびました](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34912/)」は play よりも
have a good time (in) 〜ing:〜をして楽しむ
がいいと思います。
これで、
I had a good time hunting bugs with my cousin.
いとこと虫取りをしてあそびました。
となります。
hunt の代わりに catch(捕まえる)を使っても良いでしょう。