私がこの方のお会計をしましたって英語でなんて言うの？

日本では敬語とかが大切なので、上記よりもっともっと丁寧な言い方で言わなければいけません。たとえば「I've taken payment for this customer's bill」「This customer's bill has been settled.」でもアメリカ人はそんな丁寧な表現はあまり使いません。上記の表現はちょっとキャジュアルそうですが、普通な英語だと思います。お客様がそう言っても怒らないでしょう。