日本では敬語とかが大切なので、上記よりもっともっと丁寧な言い方で言わなければいけません。たとえば「I've taken payment for this customer's bill」「This customer's bill has been settled.」でもアメリカ人はそんな丁寧な表現はあまり使いません。上記の表現はちょっとキャジュアルそうですが、普通な英語だと思います。お客様がそう言っても怒らないでしょう。
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI rang him through.
「私が彼の会計をしました」
to ring someone through で「人の会計をする」ことを言えます。
ーHe came through my checkout.
「彼は私の会計を通りました」＝「私がレジを担当しました」
複数レジがあって、彼が自分のレジに来たというニュアンスです。
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
