You don't have to wait for me. I have to get my wallet in the car.
I forgot my wallet in the car. Why don't you go home ahead of me?
ーYou don't have to wait for me. I have to get my wallet in the car.
「私のこと待たなくていいよ。車にお財布取りに行かなきゃいけないから。」
don't have to wait for someone で「人のことを待たなくても良い」＝「先に帰ってくれて良い」というニュアンスで使います。
get には何かを取ってくるという意味もあります。
ーI forgot my wallet in the car. Why don't you go home ahead of me?
「車に財布を忘れてきた。先に帰ってて。」
forget ... in the car で「車に…を置き忘れる」
go home ahead of me で「私より先に家に帰る」
ご参考まで！
"I left my wallet in the car, so you can go ahead and go home first."
・"I left my wallet in the car, so you can go ahead and go home first."
「私は車の中に財布を置いてきてしまったので、あなたは先に進んで先に帰っても大丈夫です」という意味です。
leave something in the car（車の中に置き忘れる、残してくる）で伝えることができます。
・"I forgot my wallet in my car, so feel free to head back without me."
「車の中に自分の財布を忘れてしまったので、私のことは気にせず気軽に帰ってください（車の中に財布忘れたから先に帰ってもいいよ）」という意味の表現です。
カナダ 
アメリカ合衆国 
