「あうんの呼吸」とは「息がぴったり」や「非常に気が合っている」「相性ばっちり」を表しているので, 次のような表現がオススメです。
①They have a good chemistry.
（彼らは相性抜群だよね。）
（直訳：彼らは良い相性をもっている。）
→ 映画の出演者や監督のインタビュー（主演の○○と××は息がぴったりだったのような）やカップルのことを①のように言うのをよく耳にします。chemistry = 化学, 化学反応 は, 「（人と人との）相性」にも使えます。
②They are getting along very well (with each other).
（彼らってマジでウマが合っているよね。）
（直訳：彼らは（お互い）かなり仲良くやっている。）
→ get along (with 人) = （人と）仲良くやっていく
③They are compatible.
（彼らはウマが合う。）
→ compatible（両立できる, 矛盾しない）といえば, パソコン関係に詳しい人なら「コンパティブル」は「互換性のあるソフト」という意味でご存知だと思います。あるいは, 一昔前だとコンパティブルプレーヤーというCDやDVDなど複数を再生できる機器を連想する人もいるかもしれません。いずれにせよ, 「2つ(以上)が共存・両立」するのがcompatibleです。そこから, 「人と人とのウマが合う」という意味で利用可能です。
中高では②を学習しますが, ①③も②と同じくらいにネイティブスピーカーの会話で登場する表現ですよ。
They(We) know what to do without exchanging words.
「あうんの呼吸」とは、「言葉を交わさなくても気持ちが
通じ合っている」ということですので、
They(We) know what to do without exchanging words.
言葉を交わさなくてもすべきことが分かっている
としてみました。
「あうんの呼吸」の「あうん」はサンスクリット語の
「a-hum」から来ていて、「万物の始めと終わり」
をという意味を表すようです。
参考になれば幸いです。
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