Kuruさん、こんばんは。
こういう文脈で「根気強く」は 'patiently' (「辛抱強く」の意味合いで）で英訳出来ます。
"Thank you for teaching me so patiently."
は文字通りですと＝＞「とても辛抱強く教えてくれてありがとうございました。」
"Thank you for being so patient with me."
は文字通りですと＝＞「私ととても忍耐してくれてありがとうございました。」
ご参考になれば幸いです。
Thank you for being patient with me.
辛抱強く居てくれてありがとうございます。
being patient：辛抱強くいる、忍耐強くいる
Thank you for teaching me so patiently. 辛抱強く教えてくれてありがとう
Thank you for teaching me so kindly. 親切に教えてくれてありがとう
なども同じような意味になりますね！
アメリカ合衆国 
日本 
