「急な都合で授業に参加できません」って英語でなんて言うの？

１) something has came up は「理由を言いたくないとき」に使います。
なので、単に「用事ができた」という時に使います。
"attend the class"で「授業に参加する」です。
"Sorry for that."それに対して謝ります。

２）”I have an urgent matter which I need to figure out. ” で「私が解決しなければいけない急用ができた」となります。”urgent" 「急を要する」「急ぎの」となります。その後に続くのは " figure out" = "find the solution to" 「解決する」という意味になります。

[補足]
質問者様が「キャンセルしない(できない)けど、あなたの授業料は発生したら良いね」と言いたい場合は、
"I don't cancel your lesson, so I hope you can get a payment for this lesson. "
”hope"(動詞）"I hope"「……だといいなあ」(実現する可能性の高い希望）を文に入れてあげましょう。

加筆です。

他には以下のような言い回しもあります：
I had something come up last minute and cannot attend the class.

Last minute→急
Something come up→用事

ご参考になれば幸いです！

taniさん
ご質問どうもありがとうございます。
下記の言い方ではいかがでしょうか。

１．I'm afraid I can't attend class due to an unforeseen, very urgent matter.
申し訳ありませんが、急な予期せぬ用で、今日のレッスンに参加できないです。

２．I'm not canceling our lesson though, so I hope you will still get paid for it.
キャンセルはしてないから、授業料は発生することを祈っています。

ご参考にしていただければ幸いです。