どのレベルの運営によって言い方は変わりますが、一般的にこの三つはよく使います。[プレジデント](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/71124/)やダイレクターレベルの人なら１か２が相応しいです。
１）He runs a non-profit. ２）She operates a non-profit for homeless people.
マネージメントレベルならそのままマネージを使います。
３）He manages a non-profit.
To handle は[仕事](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/37171/)やタスクを行うときに使います。 例を挙げると、
" I need to handle the task I have got from my boss by Friday."
（私はボスから引き受けた仕事を金曜日までに[対処する](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/59147/)必要があります。）
To manage は経営をする、運営をする、世話をするに使われます。例を挙げると、
" The supervisor will manage this company at a corporate level."
（係長は企業レベルでこの会社を管理するでしょう。）
He needs to manage the entire department or we will fail.
Who is going to administer the school and make sure classes are open again?
Managing the country is very hard and demanding work.
運営する to manage, to run, to administer
彼は部門全体を運営する必要があります。そうしないと失敗します。
He needs to manage the entire department or we will fail.
誰が学校を運営し、クラスが再び開かれるようにするのですか？
Who is going to administer the school and
make sure classes are open again?
国を運営することは非常に困難で厳しい仕事です。
Managing the country is very hard and demanding work.
カナダ 
日本 
アメリカ合衆国 
