進級する、レベルアップするって英語でなんて言うの？

「進級する」は　be promoted to~　という言い方があります。
I am promoted to a higher class.
(私は上級クラスに進級します。）

初級クラスから中級クラスへ　は
to the intermediate class from the beginner class
あるいは
to Level 2 from Level 1
スクール独自のクラスの呼び方をあてはめるといいですよ。

「わたし、進級した！」はこんな風にも言えます。
I got promoted!

同様に、move to　や　go to　も使えますよ。

ご参考になさって下さいね。

次のレベルにいく、という言い方は"moving on to" を使うことで、「移動する」や「次にいく」という意味になります。"going on" も同じような言い方です。